Sine of the Difference and Sum of Two Angles
1. sin (A-B) = sinA cosB + cosA sinB
Proof: L.H.S: sin (A-B)
= sinA cosB + cosA sinB
L.H.S sin (A – B) = cos (90 – (A – B))
(since cos (90 – θ) = sin θ)
= cos (90 – (A – B))
= cos [(90 – A) + B]
= cos (90° – A) cos B – sin (90° – A) sin B
(since cos (90 – θ) = sin θ, sin (90 – θ) = cos θ)
= sin A cos B – cos A sin B
sin(A-B) = sinA cosB + cosA sinB
Hence proved
2. sin(A+B) = sinA cosB + cosA sinB
Proof: L.H.S: Sin (A + B)
= sin (A – (-B))
= sinA cos(-B) – cosA sin(-B)
(since cos(-θ) = cosθ
and sin(-θ) = -sinθ)
= sinA cosB + cosA sinB
sin(A+B) = sinA cosB + cosA sinB
Hence proved
3. sin (A + B) sin (A – B) = sin²A – sin²B
Proof: L.H.S: Sin (A + B) sin (A – B)
= (sinA cosB + cosA sinB) (sinA cosB – cosA sinB)
= sinA cosB x sinA cosB – sinA cosB x cosA sinB + cosA sinB x sinA cosB – cosA sinB x cosA sinB
= sinA cosB x sinA cosB – cosA sinB x cosA sinB
= sin²A cos²B – cos²A sin²B
= sin²A (1-sin²B) – (1-sin²A) sin²B
= sin²A – sin²A x sin²B – sin²B + sin²A x sin²B
= sin²A – sin²B
Sin (A + B) sin(A – B) = sin²A – sin²B
Hence proved.